jueves, 21 de marzo de 2019

Diagramas de Feynman - Bartolo Luque

¿Cuál es la función y la utilidad de los tan aclamados diagramas de Feynman?
(Por Bartolo Luque)



El Modelo Estándar, nacido en los años 70 del siglo pasado, es la descripción más contrastada que nos ofrece la física actualmente de la estructura fundamental de la materia y el vacío. El Modelo Estándar, que toma como base una serie de partículas elementales y cuatro interacciones fundamentales, es en realidad un conjunto de teorías. No todas ellas gozan de igual precisión, y en particular, “La joya de la corona”, la teoría más precisa que disponemos, es la electrodinámica cuántica (QED, Quantum Electrodynamics en su acrónimo inglés). La QED es la teoría cuántico-relativista que describe cómo se producen las interacciones electromagnéticas entre partículas, y cómo interaccionan la luz y la materia. Las interacciones electromagnéticas son las fuerzas físicas que rigen, por ejemplo, cómo cargas del mismo signo se repelen entre sí y de signo opuesto, se atraen. En física clásica la descripción de estas interacciones vienen mediadas por el campo electromagnético. Pero en la QED, los electrones y demás partículas fundamentales intercambian fotones virtuales que hacen de portadores de la fuerza electromagnética. Una partícula virtual es una deuda transitoria de la naturaleza: aparece de la nada tomando prestada energía del vacío y, tras una breve vida, desaparece devolviendo la energía tomada en préstamo; siempre según las reglas establecidas por el principio de incertidumbre de Heisenberg.

El primer paso hacia la teoría lo dio en 1928 el gran físico Paul Dirac, al combinar la teoría cuántica con la relatividad especial para obtener una ecuación de ondas relativista para el electrón. Pero a pesar de los esfuerzos de muchos teóricos, la teoría presentaba un par de problemas de calado al describir el resultado de una interacción electromagnética entre partículas: uno era la aparición de cantidades infinitas en los cálculos y otro era el sinfín de términos que debían computarse, que convertían un problema en una pesadilla algebraica. Además, la teoría no daba cuenta de algunos desajustes entre medidas experimentales y resultados teóricos, como por ejemplo, la llamada constante de estructura fina que puede medirse a través del momento magnético anómalo del electrón. Así que en sus inicios la QED se mostraba confusa y refractaria al cálculo. Hasta que, de manera independiente, los físicos Richard P. Feynman, Julian Schwinger y Sin-Ichiro Tomonaga solventaron la cuestión; extremo que les valió el Premio Nobel de Física en 1965.

Schwinger y Tomonaga propusieron métodos matemáticos extremadamente complicados y poco prácticos de manejar. Mientras que Feynman consiguió presentar los cálculos de una manera intuitiva y solventar algunos de los molestos infinitos mediante una técnica llamada “renormalización”. Para simplificar los pantagruélicos cálculos que aparecían en la QED Feynman propuso sus famosos diagramas, la base de su método. Fue Freeman Dyson quien demostró la equivalencia matemática de los tres métodos y ayudó a popularizar los diagramas de Feynman, que traspasaron enseguida el área donde nacieron para aplicarse a la física nuclear o a la teoría del estado sólido. Los físicos teóricos, gracias a ellos, fueron capaces de realizar cálculos que en el momento resultaban inabordables. Del mismo modo que hoy la computación ha supuesto una revolución en muchas áreas de la ciencia, los diagramas de Feynman supusieron una revolución en la física.

Veamos con algo de detalle uno de los ejemplos más sencillos: la repulsión entre dos electrones. Clásicamente, para determinar la trayectoria de los electrones, usaríamos el campo eléctrico y consideraciones como la conservación de la energía. Pero la QED está gobernada por la cuántica de campos y una de las extraordinarias cosas que nos muestra esta teoría es que el campo eléctrico está cuantizado, constituido por fotones. La matemática de la física de partículas elementales es conocida como teoría cuántica de campos. Esta teoría describe como se propagan los campos cuánticos que describen las partículas, como colisionan e interaccionan entre sí, como se producen nuevas partículas, etc. Todos los procesos que se observan en los grandes aceleradores de partículas (como el LHC y el Tevatrón) se describen por esta teoría y la QED es su hija más perfecta. De modo que cuando dos electrones se acercan se pueden repeler, por ejemplo, a través de la emisión de un fotón por parte de uno de los electrones que será absorbido por el otro. Podemos dibujar fácilmente el diagrama de Feynman de este proceso:





En todo diagrama de Feynman, las líneas rectas con flechas representan partículas de materia. En nuestro caso tenemos dos electrones e-. El tiempo en nuestro diagrama transcurre de abajo hacia arriba y el eje horizontal puede interpretarse como el espacio (es usual encontrarnos los diagramas con el tiempo y el espacio intercambiados respecto al ejemplo que presentamos). Así, en la parte inferior del diagrama, tenemos las "partículas incidentes", que en nuestro caso son dos electrones que colisionarán entre sí; y en la parte superior tenemos las "partículas resultantes" después de la interacción, que, en este caso, siguen siendo nuestros dos electrones. El diagrama es un esquema taquigráfico y las líneas no deben entenderse como trayectorias de las partículas. Los vértices son aquellos puntos del diagrama donde concurren, por lo menos, tres segmentos. En ellos se producen las interacciones y deben cumplirse las leyes de conservación, como la conservación de la carga eléctrica, el momento relativista, la energía, etc.  En un vértice de un diagrama de Feynman, las partículas emergentes pueden ser diferentes a las entrantes (algo que es el pan nuestro de cada día en los aceleradores), pero en QED solo aparecen vértices de tres partículas: dos con carga eléctrica y un fotón. En nuestro ejemplo vemos dos. Las líneas onduladas representan partículas virtuales portadoras de la fuerza que, en la interacción electromagnética, son fotones y no son directamente observadas.

En general, no solo en QED, podemos entender cualquier interacción entre partículas como el paso de un estado inicial a un estado final. Conociendo qué tipo de interacciones se dan entre las partículas y las leyes de conservación que satisfacen, la teoría cuántica de campos nos permite calcular las probabilidades de que, a partir de la interacción de unas partículas iniciales, acabemos en otras partículas finales, que en general no serán las mismas. Volvamos a nuestro ejemplo de la repulsión de dos electrones. Para calcular la probabilidad de que las cosas sucedan como describe el diagrama de Feynman necesitamos hacer una serie de operaciones con la siguiente expresión matemática:

(O1ieγμI1)((-igμν)/p2)(O2ieγνI2)

donde la contribución de un electrón antes de la colisión corresponden al símbolo I y la de después de la colisión a la letra O. El subíndice indica si se trata del electrón 1 o 2. La contribución del fotón se corresponde con el cociente central de la ecuación. La genialidad de los diagramas de Feynman es que son una manera precisa y sencilla de representar este tipo de expresiones, como podemos deducir de la siguiente tabla:





Cada elemento del diagrama se traduce en parte de la expresión matemática. ¿Y ya está, es así de fácil? Lamentablemente solo hemos descrito una posible forma de pasar del estado inicial de nuestros electrones al estado final. Pero en realidad, la teoría cuántica de campos permite que esto suceda de una infinidad de maneras. En nuestro ejemplo, los siguientes diagramas de Feynman también son compatibles con una repulsión entre dos electrones:





En el primero, uno de los electrones resultantes emite un fotón virtual y lo reabsorbe. En el segundo diagrama, uno de los electrones emite un fotón antes de la colisión y lo reabsorbe posteriormente. Y por último, en el tercer diagrama, se crean y destruyen partículas virtuales intermedias. Así, que simplemente añadiendo un nuevo vértice de interacción, algo que es posible según la cuántica de campos, creamos un nuevo diagrama y el resultado final es el mismo. Hay infinitas posibilidades que nos llevan al resultado final de la repulsión de dos electrones. Pero, si hay tantos diagramas posibles, ¿cuál es el que realmente ocurre? Pues según la cuántica, simplemente no podemos saberlo, porque en cierto modo, todos los diagramas ocurren a la vez.  La teoría nos dice que para determinar la probabilidad de que se produzca el estado final a partir del inicial debemos sumar las contribuciones a la probabilidad de todas las formas posibles de hacerlo, de todos los posibles diagramas de Feynman.

Cada uno de los posibles procesos que nos lleva al mismo resultado final está asociado a una integral de camino, que utiliza expresiones matemáticas como la mostrada anteriormente. Para computar la probabilidad exacta de alcanzar este estado final debemos sumar infinitas contribuciones, infinitos diagramas de Feynman. Afortunadamente, la emisión de un fotón en este proceso tiene una probabilidad de ocurrir de un 1%, mientras que la emisión de dos fotones tiene una probabilidad de un 0,01%. Y esta probabilidad va disminuyendo más y más mientras más fotones virtuales intervengan; es decir, mientras más vértices tenga nuestro diagrama. De modo que nuestro primer diagrama, el más simple, es el más importante.

La teoría de perturbaciones nos enseña cómo es posible resolver ecuaciones muy complicadas, en nuestro caso el cálculo de la probabilidad de un suceso, simplificándolas para obtener una solución tan aproximada como queramos. Es algo parecido a lo que hacemos al tomar como aproximación a una expresión matemática un truncamiento de una serie de Taylor. Nos quedamos con los primeros términos más relevantes. En nuestro ejemplo, el intercambio de un único fotón es la contribución dominante y, solo en el caso de que necesitemos cálculos más precisos, necesitaremos tener en cuenta otros diagramas. La ventaja de los diagramas de Feynman sobre el resto de formulaciones teóricas es que es relativamente fácil dibujar todos los posibles diagramas con dos o tres vértices, por ejemplo. Aun así, los físicos de partículas tienen que evaluar unos cientos de diagramas de Feynman para obtener aproximaciones a bajo orden y decenas de miles para ir algo más allá en la precisión. Algo que sin la inestimable ayuda de los ordenadores simplemente sería imposible hoy día.

La teoría cuántica de campos en su aplicación a la física de las partículas elementales es la teoría mejor confirmada experimentalmente de la historia.  Y en QED la concordancia entre resultados teóricos y medidas experimentales sobrepasa con mucho lo espectacular. Pero los físicos no paran y trabajos recientes apuntan a que, tal vez, la época de los diagramas de Feynman toque pronto a su fin. Herramientas de la teoría de los twistors, desarrollada por Roger Penrose en la década de los 70 y usada entre los teóricos de cuerdas recientemente, prometen una nueva simplificación espectacular de los cálculos. Quizás así los diagramas de Feynman desaparezcan de la práctica diaria de los físicos de partículas, pero ocuparán siempre un lugar destacado en la historia de la física.


Bibliografía:
David Kaiser, “La física y los diagramas de Feynman”. Investigación y ciencia, septiembre de 2005.
Richard P. Feynman, “Electrodinámica cuántica: la extraña teoría de la luz y la materia”. Alianza Universidad, 1992.
Jesús Navarro Faus, “Feynman: Los caminos cuánticos”. Nivola Libros y Ediciones, 2007.

Bartolo Luque
Doctor en Física
E.T.S.I. Aeronáuticos, Universidad Politécnica de Madrid

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