¿Qué son los
números imaginarios? ¿Tienen alguna aplicación en la vida cotidiana?
(Por Yves
Huttel)
Capítulo 5
de CIENCIA, y además lo entiendo!!!
1 Introducción:
¿Por qué este capítulo?
Los descubrimientos humanos aparecen casualmente o como fruto de
investigaciones. Me atrevería a decir que estos últimos surgen cuando las
investigaciones son orientadas (típicamente investigaciones para resolver un
problema concreto en cuyo caso se habla de investigaciones aplicadas) o
básicas. Cuando las investigaciones son básicas, no tienen como propósito
resolver un problema o aportar una solución concreta. En la sociedad actual se
tiende a pensar que las investigaciones básicas tienen poco o ningún interés ya
que “no sirven”. Este capítulo tiene como objeto un caso concreto de
investigación básica cuyos resultados han resultado ser de gran interés para
múltiples/diversas aplicaciones. Como veremos, los números imaginarios no
solamente son muy reales, sino que son muy importantes en nuestra vida diaria.
A través de este ejemplo, ilustraremos la importancia de la investigación
básica.
2 Definición
y aspectos históricos.
Los números imaginarios forman parte de los números llamados complejos
que se escriben de la siguiente forma: a + ib, siendo a y b números reales (un
número real es un número que tiene una parte entera y una lista finita o
infinita de decimales). En esta formulación, ib es lo que se llama la parte
imaginaria del número complejo. La definición poco intuitiva pero genial de i
es que i2 = -1.
La primera aparición de
un número imaginario data de 1545 en la forma de √-15 en un trabajo de Girolamo
Cardano (también llamado Hieronymus Cardanus en latín o Jérôme Cardan en
francés), matemático, filósofo, astrólogo, inventor y médico italiano (Pavia 1501,
Roma 1576). Tanto Girolamo Cardano como otro matemático italiano, Raphaël
Bombelli (Bolonia, 1526-1572) en su tratado de matemáticas “L’Algebra”,
mostraron el interés de utilizar las raíces cuadradas de números negativos en
los cálculos matemáticos. Hasta el siglo XIX los números imaginarios eran
considerados como un “truco” matemático imaginado (de allí su nombre) para, en
particular, resolver ecuaciones del tercer grado i.e. del estilo ax3
+ bx2 + cx + d = 0. Destaca la contribución en ese sentido de la
escuela italiana, no solamente con Cardano y Bombelli, sino también de Niccolò
Fontana (1499-1557) y Ludovico Ferrari (1522-1565). Posteriormente varios
sabios contribuyeron al desarrollo y uso de los números imaginarios a lo largo
de los siglos como Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) o Leonhard Euler, matemático y físico suizo
(1707-1783) que en 1777 define el número imaginario i tal que i = √-1. Curiosamente este mismo año, nace Carl
Friedrich Gauss (1777-1855) quien también contribuirá ampliamente al uso de los
números imaginarios.
Con el tiempo los números imaginarios
se han “colado” en todas las áreas de física matemática, donde se utilizan los
números complejos para resolver las ecuaciones, en magnetismo, electricidad,
dinámica de fluidos, física cuántica, etc. De esta manera, los números
imaginarios han dejado de ser una curiosidad matemática y han pasado a ser
herramientas que permiten resolver problemas en áreas que indirectamente pero
continuamente forman parte de nuestra vida como se ilustrará con algunos
ejemplos a continuación.
3 Los
números imaginarios bien reales en nuestras vidas.
Aunque aparentemente alejadas de nuestras vidas cotidianas, las
matemáticas son parte integrante de nuestro día a día. Aunque no seamos del
todo conscientes de ello, la investigación y evolución de los números
imaginarios y más ampliamente de los números complejos en matemáticas han
permitido resolver problemas matemáticos prácticamente irresolubles (por
ejemplo el cálculo de algunas integrales). Estos avances en matemáticas han
tenido y seguirán teniendo una repercusión en nuestras vidas. Pero
independientemente de estos desarrollos puramente matemáticos los números
complejos son herramientas muy importantes en diferentes campos como la
ingeniería y la física que de forma más o menos directa afectan nuestras vidas.
A continuación presentamos unos ejemplos (entre muchos otros) que ilustran
aquello.
Los números complejos se utilizan para simplificar la
modelización y la escritura de fenómenos oscilatorios como son las ondas
electromagnéticas y los circuitos electrónicos. Si recordamos que una gran
parte de las comunicaciones se realizan utilizando las ondas electromagnéticas
(señal de televisión, radio, telefonía móvil…) y que los dispositivos
electrónicos que utilizamos (ordenadores, teléfonos móviles, coches, etc.)
contienen circuitos electrónicos, resulta evidente la presencia de los números
imaginarios en nuestra vida diaria. Por otro lado se utilizan los números
complejos en las series de Fourier que permiten el tratamiento y análisis de
señales como son las señales electromagnéticas que, como hemos mencionado, se
utilizan en particular en telefonía. Por lo tanto podemos decir que cuando
utilizamos el teléfono móvil estamos utilizando de forma activa los números
complejos y por lo tanto los números imaginarios.
Otro
ejemplo es la mecánica de fluidos (hidrodinámica o aerodinámica) que estudia el
comportamiento de los fluidos como puede ser el aire en los contornos de un
avión o un coche. En mecánica de fluidos en 2 dimensiones (en un plano) se
utilizan los números complejos que permiten una modelización más simple de los
fenómenos como el flujo alrededor de un obstáculo. Una herramienta que utiliza
los números complejos es la transformación conforme de
Joukovsky
que permite calcular el perfil de las alas de los aviones. Por lo tanto los
números complejos están presentes en el diseño aerodinámico de coches y aviones
y en el diseño hidrodinámico de barcos que a su vez permite una reducción de
las fricciones y una reducción del consumo de carburante.
Menos intuitivo y
directo es el ejemplo de la mecánica
cuántica, para la cual la ecuación de Schrödinger (1925) es una ecuación
fundamental que permite describir la evolución temporal de una partícula no
relativista. Sin entrar en detalles, se observa claramente que el número
imaginario “i” aparece en la ecuación. De la misma forma, los números complejos
son utilizados en las herramientas de la mecánica cuántica (espacio complejo de
Hilbert, matriz de Heisenberg). En resumen los números complejos se utilizan
para explicar el comportamiento de la materia a nivel cuántico. Esto significa
que la mecánica cuántica permite describir los fenónemos a nivel atómico como
la dualidad onda-corpúsculo y la computación cuántica que rige los ordenadores
cuánticos (1).
Como último ejemplo me
gustaría comentar sobre la utilización de los números complejos en el estudio de
un tema con el que no nos topamos todos los días pero que llevamos en nosotros:
¡el origen del universo! Según la teoría del Big Bang (o gran explosión) el
universo estaba en un estado muy condensado y luego se expandió (con una gran
explosión). En ese modelo, si se extrapolan las leyes de la física hacia el
origen del universo, nos encontramos con una singularidad (un punto) que
estaría aproximadamente a 13800 millones de años (que sería la edad del
universo). Stephen Hawking y James Hartle han postulado la hipótesis de un
universo sin bordes donde la singularidad inicial no existiría. Esta hipótesis
está basada en la idea de que el tiempo “t” cerca del origen del universo es un tiempo
imaginario que se define como t
= i t. Según Hawking y Hartle esta formulación del tiempo permitiría describir
la física del universo cerca de sus orígenes (cerca del Big Bang).
4 Conclusiones.
Hemos visto que, lo que inicialmente se considero como un “truco”
matemático para resolver ecuaciones en el siglo XVI, y que se llegó a llamar
“imaginario” por su extravagancia, está siendo utilizado en nuestros días para
resolver problemas de nuestra vida cotidiana. A través de este ejemplo se
evidencia la importancia de la investigación básica que por muy “inútil” que
parezca puede tener aplicaciones e implicaciones muy importantes en el futuro.
En una sociedad donde todo debe ser útil a corto plazo, no cabria la
posibilidad de financiar la investigación básica que diera lugar a números
“imaginarios” ya que todo tiene que ser real. El caso de los números
imaginarios no es único y existen otros ejemplos de resultados de estudios e investigaciones
básicas que dieron lugar a importantes aplicaciones. De allí la necesidad de
preservar la investigación “imaginaria” para el avance y bienestar de nuestra
sociedad.
Notas:
1: “Cómo los ordenadores cuánticos cambiarán para siempre la computación”
Yves Huttel
Doctor en Física
Científico
Titular del CSIC
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