Números Ordinarios y Binarios - Pedro Alegría Ezquerra

¿Qué diferencia hay entre los números ordinarios y los números binarios y cuáles son las ventajas y limitaciones de cada uno?

(Por Pedro Alegría Ezquerra)

Capítulo 4 de CIENCIA, y además lo entiendo!!!

Uno de los mayores descubrimientos (¿o podemos llamarlo invento?) de nuestra cultura es el sistema de numeración decimal. La introducción en el mundo occidental del sistema posicional en base diez, que terminó por desbancar casi por completo al sistema de numeración romano, vino de la mano de los árabes, que a su vez lo importaron de la cultura hindú, quienes ya incluían el cero antes del siglo VII como una de las diez cifras que nos son tan familiares. Debemos agradecer a los matemáticos al-Jwarizmi (c. 780-850) y al-Kindi (c. 801-873) la difusión del sistema hindú en el Oriente Medio y en Occidente.

Por cierto, como el cero surgió para determinar una posición que no estuviera ocupada por ninguna cifra significativa, no era necesario para contar. Así que no ha habido año cero ni siglo cero, pero el edificio matemático se desestabilizaría si el cero tuviera esa labor posicional como único objetivo de su existencia.

La implantación en Europa del nuevo sistema hindú empezó en Italia gracias a los esfuerzos de Gerbert d’Aurillac (c. 946-1003), más tarde conocido como el papa Silvestre II, y se extendió en el resto a través de la Escuela de Toledo, durante el siglo XIII. Para una eficaz difusión, resultó muy importante la publicación del libro “Liber Abaci” (1202), de Leonardo Pisano (c. 1170-1250), donde explicaba con detalle el nuevo sistema.

Algunos sistemas de numeración posicional muy extendidos en otras épocas, como el de base 20 utilizado por los mayas, han desaparecido. Otros se mantienen de forma residual: en base 12 se cuentan todavía los huevos, las horas y los meses; en base 60 los minutos y los segundos. Por ejemplo, cualquier persona culta entiende que 3 centenas, 6 decenas y 5 unidades corresponden al número

365 = 3 x 100 + 6 x 10 + 5 = 3 x 10 x 10 + 6 x 10 + 5

(y si no es así, conviene que empiece por leer el capítulo 5 de la precuela de esta obra “100 preguntas básicas sobre ciencia” de Isaac Asimov). Ahora bien, si nos referimos a 3 horas, 6 minutos y 5 segundos, debemos entender que el número total de segundos es

3 x 60 x 60 + 6 x 60 + 5 = 11165.

¡Acabamos de convertir el número 365 desde el sistema sexagesimal (en base 60) hasta el sistema decimal (en base 10)!

Los sistemas de numeración en base 12 y 60 presentan algunas ventajas frente al sistema decimal: una docena de huevos puede empaquetarse en cartones rectangulares de 12 x 1, 6 x 2 o 4 x 3; sin embargo, una decena de huevos solo podríamos encontrarla en cartones de 10 x 1 o 5 x 2. En general, cuantos más divisores tenga la base de un sistema de numeración, más versátil es la factorización de los números. Por esa razón, es muy cómodo el sistema sexagesimal: resulta que, como 60 = 2 x 2 x 3 x 5, hay muchas posibles factorizaciones de este número.

Como curiosidad, citaremos a la Dozenal Society of America, corporación sin fines de lucro fundada en 1944, organizada para

“conducir la investigación y educación pública en el uso de la base doce como numeración en cálculos matemáticos, en pesos y medidas, y otras ramas de la ciencia pura y aplicada.”

¿Por qué se ha impuesto en nuestra cultura el sistema decimal? No hay duda que nuestra forma de “contar con los dedos” ha sido la responsable de que el diez sea el elegido como base del sistema de numeración. Es probable que, si siguiéramos descalzos como los monos, estaríamos utilizando un sistema en base veinte. Esto conllevaría un problema significativo: necesitaríamos idear veinte símbolos distintos para representar las veinte cifras y nos costaría mucho aprender las correspondientes veinte tablas de multiplicar.

En el otro extremo está el sistema binario, el de base dos (reservado para extraterrestres que tuvieran dos dedos): solo tiene dos cifras, digamos 0 y 1. Las tablas de multiplicar son el sueño de todo estudiante:

0 x 0 = 0; 0 x 1 = 0; 1 x 0 = 0; 1 x 1 = 1.

Los números expresados en este sistema tienen un pequeño inconveniente: enseguida se hacen muy grandes. Por ejemplo, el número 365 en base dos se escribe como 101101101. Para comprobarlo, debemos hacer la operación

1 x 2⁸ + 0 x 2⁷ + 1 x 2⁶ + 1 x 2⁵ + 0 x 2⁴ + 1 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 = 365.

En la sociedad que nos rodea, el sistema binario se está imponiendo a marchas forzadas: todo lo relacionado con la informática y las telecomunicaciones, sean por cable o no, debe sufrir en algún momento un proceso de representación en base dos.

¿Por qué es así? Un ordenador no tiene dedos pero está compuesto por circuitos, pudiendo presentar cada uno de ellos uno de estos dos posibles estados: encendido (representado en este caso por el dígito 1) o apagado (representado por el dígito 0). Cualquier mensaje que queramos transmitir por medio de un ordenador, ya sea numérico o alfabético, debe primero traducirse a su lenguaje, es decir a una sucesión de dígitos binarios. En informática, un dígito binario recibe el nombre de bit (acrónimo de binary digit) y es la unidad de información más pequeña que procesa un ordenador. El nombre bit fue adoptado en 1948 por Claude Shannon (1916-2001), uno de los pioneros de la informática pero el mecanismo fundamental de funcionamiento de un ordenador fue ideado por el considerado padre de la computación Charles Babbage (1791-1871) en 1812, inspirado en el uso de tarjetas perforadas, por parte de Joseph Marie Jacquard, para realizar intrincados diseños en sus telares, lo cual supuso una revolución en la industria textil.

Esta nueva aritmética binaria tiene relación con otras disciplinas matemáticas: por ejemplo, el álgebra de proposiciones, ideada por Georges Boole (1815-1864), se basa en el conjunto de operaciones realizadas con los valores lógicos verdadero y falso, las cuales son equivalentes a las que se establecen con los dígitos 1 y 0.

El gran desarrollo de la informática actual se debe a la creciente capacidad de almacenamiento y al aumento de la velocidad de cálculo. ¿Esto significa que la historia acaba aquí? Ni mucho menos: el matemático azerbaiyano Lofti Zadeh (n. 1921) introdujo en 1965 la llamada lógica difusa (o álgebra borrosa), en la que se admiten números comprendidos entre cero y uno. Del mismo modo que hay más colores que el blanco y el negro o que puede haber proposiciones que no son completamente verdaderas o completamente falsas, la lógica difusa permite tender un puente entre la lógica clásica y el mundo que nos rodea.

¿Quién puede aventurar el futuro de la computación cuando se dote a los ordenadores de la capacidad de hacer operaciones con esta nueva aritmética y, en consecuencia, de tomar decisiones en situaciones más próximas a la realidad?

Pedro Alegría Ezquerra

Doctor en Matemáticas

Profesor titular

Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea