¿Qué es la
topología?
(Por
Marta Macho Stadler)
Capítulo
6 de CIENCIA, y además lo entiendo!!!
De manera informal, la topología es
la parte de las matemáticas que estudia propiedades cualitativas de espacios y
objetos. La topología se ocupa de aquellas características de las figuras que
permanecen invariantes cuando éstas son plegadas, dilatadas, contraídas o
deformadas, de modo que no aparezcan nuevos puntos –no se pueden romper los objetos estudiados– o se
hagan coincidir puntos diferentes –no se pueden pegar puntos que no lo estuvieran previamente–. Por ejemplo, en
topología, un balón de rugby, un balón de fútbol o una pelota de ping-pong son indistinguibles porque, si estuvieran
fabricados de un material maleable –por ejemplo plastilina–, sería posible
deformar los unos en los otros sin romper ni pegar nada. Por decirlo de una
manera más transparente, en topología no son importantes ni las posiciones de
los objetos, ni los tamaños, ni las formas: los tres ejemplos que hemos
comentado antes son superficies que
encierran volumen vacío. Esa es la cualidad topológica que los define.
Las transformaciones permitidas en topología
presuponen que hay una correspondencia biunívoca entre los puntos de la figura
original y los de la transformada, y que durante una de estas deformaciones se
hacen corresponder puntos próximos a puntos próximos. Esta última propiedad se
llama continuidad, y lo que se exige
es que la transformación y su inversa sean ambas continuas: trabajamos con lo
que llamamos homeomorfismos.
Los
objetos de la topología son los mismos que los de la geometría, pero se trabaja
con ellos de manera diferente: un círculo es equivalente a una elipse; una bola
no se distingue de un cubo: se dice que la bola y el cubo son objetos
topológicamente equivalentes –homeomorfos–,
porque se pasa, como ya hemos indicado, de una al otro mediante una
transformación continua y reversible.
Uno de
los objetivos fundamentales de la topología es distinguir espacios. Si sabemos
que dos objetos son homeomorfos y queremos demostrarlo, debemos encontrar una
transformación –una aplicación continua– que deforme el uno en el otro y que
además sea reversible –también de manera continua–. Aunque puede que resulte
algo complicado, sabemos lo que tenemos que hacer. Sin embargo, cuando queremos
demostrar que dos objetos no son homeomorfos, a priori habría que ver que no
hay ninguna de esas especiales transformaciones reversibles que lleve el uno en
el otro. ¿Y eso cómo se hace? ¿Debemos ir probando con todas las
transformaciones que se nos ocurran? ¿Y cómo estamos seguros de que no se nos
olvida ninguna? Para poder distinguir objetos topológicamente diferentes, se
introducen los denominados invariantes
topológicos, es decir, nociones que permanecen inalterables al cambiar un
objeto por otro topológicamente equivalente. Por ejemplo, algunos de ellos son
la compacidad, la conexión, la propiedad de Hausdorff, el tipo de homotopía,
etc. Por ejemplo, si un espacio es conexo –intuitivamente, ‘de una pieza’– y
otro no lo es, se puede concluir que no son homeomorfos. ¡Cuidado! Eso no
significa que dos espacios conexos sean siempre topológicamente equivalentes:
por ejemplo, una bola maciza y una pelota son conexas y no son homeomorfas –es
imposible ‘eliminar’ el agujero que encierra la pelota–.
Aunque
en muchas ocasiones los desarrollos teóricos en topología –o en otras ramas de
las matemáticas o de la ciencia– no han tenido o tienen una aplicación
inmediata, el investigar en esos campos puede, de manera indirecta, ayudar en
el avance de otras disciplinas. Por este motivo, los equipos de investigación
son cada vez más interdisciplinares: el combinar conocimientos de áreas
diversas, con miradas y formaciones
diferentes solo puede contribuir a mejorar cualquier estudio.
Un
ejemplo sorprendente de la utilidad de la topología es el de la llamada teoría topológica de nudos. Los nudos
están presentes en ámbitos tan dispares como la decoración, la industria
textil, la magia, el alpinismo o la cirugía. Su estudio matemático –la teoría topológica de nudos– ha permitido
descubrir su relación con la física, la química o la biología molecular.
En
matemáticas, un nudo se piensa como una curva continua, cerrada y sin puntos
dobles situada en un espacio tridimensional. Dos nudos son equivalentes cuando es posible pasar de uno a otro mediante
deformaciones, estiramientos o compresiones, pero sin realizar cortes. Es muy
difícil decidir cuando dos nudos son equivalentes, y gran parte de la teoría de
nudos se dedica precisamente a intentar resolver esa cuestión. Algunos trucos
de magia utilizan justamente esta propiedad: el ilusionista nos presenta una
cuerda anudada de manera complicada y
usando su destreza –y algunas tretas
añadidas para despistar– deshace ante
nuestros ojos las ataduras sacudiendo con fuerza la cuerda. En realidad, el
mago ha partido del nudo trivial –no
hay nudo– presentado de una manera complicada para disimular la realidad de esa
atadura. No ha hecho magia, ha hecho topología.
El
ADN posee una estructura de doble hélice en la que dos cadenas de nucleótidos
complementarios se enrollan a lo largo de un eje común. Esta doble hélice puede
moverse en el espacio para formar una nueva hélice de orden mayor: se habla en
este caso de ADN superenrollado. El ADN circular superenrollado es una doble
hélice de moléculas donde cada cadena de polinucleótidos forma un anillo. Todas
las propiedades físicas, químicas y biológicas del ADN están influenciadas por
la circularidad y las deformaciones asociadas al superenrollamiento. Es posible
comprender este mecanismo de superenrollamiento –y las consecuencias de esta
estructura para el ADN– utilizando matemáticas complejas, en particular
topología. Para realizar este estudio se comienza construyendo un modelo
matemático representando la estructura helicoidal del ADN y –entre otros
factores– es necesario describir los nudos que aparecen en la configuración,
encontrar las características esenciales que permitan distinguirlos, es decir,
clasificarlos sin riesgo a confusión. Estas características, que deben
permanecer inalterables a lo largo de la deformación son los invariantes topológicos del nudo. Las topoisomerasas son enzimas capaces de actuar sobre la topología del ADN: lo enredan
o desenredan –es decir, deshacen o crean nudos– para permitir un almacenamiento
más compacto o facilitar su replicación. La comprensión del funcionamiento
de estas enzimas y su interacción con el ADN podría ayudar a conocer mejor
algunas enfermedades genéticas. En esta tarea, la topología tiene mucho que
decir.
La
topología se utiliza en muchas más ramas de la ciencia: en el estudio de flujos
–como la atmósfera alrededor de nuestro planeta–, en el análisis de redes de
diversos tipos, en cosmología –como el examen de la forma del universo–, en
física de materiales –como en el estudio de cristales líquidos–, etc. Es realmente emocionante ver cómo una teoría
procedente de la matemática pura encuentra aplicaciones en ramas tan diversas
de la ciencia… ¡y las que aún estarán por llegar!
Marta Macho Stadler
Doctora en Matemáticas
Profesora Facultad de Ciencia y
Tecnología,
Universidad del País Vasco-Euskal Herriko
Unibertsitatea
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