¿Cuál
es la función y la utilidad de los tan aclamados diagramas de Feynman?
(Por
Bartolo Luque)
Capítulo 41 de CIENCIA, y además lo entiendo!!!
El
Modelo Estándar, nacido en los años 70 del siglo pasado, es la descripción más
contrastada que nos ofrece la física actualmente de la estructura fundamental
de la materia y el vacío. El Modelo Estándar, que toma como base una serie de
partículas elementales y cuatro interacciones fundamentales, es en realidad un
conjunto de teorías. No todas ellas gozan de igual precisión, y en particular,
“La joya de la corona”, la teoría más precisa que disponemos, es la
electrodinámica cuántica (QED, Quantum
Electrodynamics en su acrónimo inglés). La QED es la teoría
cuántico-relativista que describe cómo se producen las interacciones
electromagnéticas entre partículas, y cómo interaccionan la luz y la materia.
Las interacciones electromagnéticas son las fuerzas físicas que rigen, por
ejemplo, cómo cargas del mismo signo se repelen entre sí y de signo opuesto, se
atraen. En física clásica la descripción de estas interacciones vienen mediadas
por el campo electromagnético. Pero en la QED, los electrones y demás partículas
fundamentales intercambian fotones virtuales que hacen de portadores de la
fuerza electromagnética. Una partícula virtual es una deuda transitoria de la
naturaleza: aparece de la nada tomando prestada energía del vacío y, tras una
breve vida, desaparece devolviendo la energía tomada en préstamo; siempre según
las reglas establecidas por el principio de incertidumbre de Heisenberg.
El primer paso hacia la teoría lo dio
en 1928 el gran físico Paul Dirac, al combinar la teoría cuántica con la
relatividad especial para obtener una ecuación de ondas relativista para el
electrón. Pero a pesar de los esfuerzos de muchos teóricos, la teoría
presentaba un par de problemas de calado al describir el resultado de una
interacción electromagnética entre partículas: uno era la aparición de
cantidades infinitas en los cálculos y otro era el sinfín de términos que
debían computarse, que convertían un problema en una pesadilla algebraica.
Además, la teoría no daba cuenta de algunos desajustes entre medidas
experimentales y resultados teóricos, como por ejemplo, la llamada constante de
estructura fina que puede medirse a través del momento magnético anómalo del
electrón. Así que en sus inicios la QED se mostraba confusa y refractaria al
cálculo. Hasta que, de manera independiente, los físicos Richard P. Feynman,
Julian Schwinger y Sin-Ichiro Tomonaga solventaron la cuestión; extremo que les
valió el Premio Nobel de Física en 1965.
Schwinger y Tomonaga propusieron
métodos matemáticos extremadamente complicados y poco prácticos de manejar.
Mientras que Feynman consiguió presentar los cálculos de una manera intuitiva y
solventar algunos de los molestos infinitos mediante una técnica llamada
“renormalización”. Para simplificar los pantagruélicos cálculos que aparecían
en la QED Feynman propuso sus famosos diagramas, la base de su método. Fue
Freeman Dyson quien demostró la equivalencia matemática de los tres métodos y
ayudó a popularizar los diagramas de Feynman, que traspasaron enseguida el área
donde nacieron para aplicarse a la física nuclear o a la teoría del estado
sólido. Los físicos teóricos, gracias a ellos, fueron capaces de realizar
cálculos que en el momento resultaban inabordables. Del mismo modo que hoy la
computación ha supuesto una revolución en muchas áreas de la ciencia, los
diagramas de Feynman supusieron una revolución en la física.
Veamos con algo de detalle uno de los
ejemplos más sencillos: la repulsión entre dos electrones. Clásicamente, para
determinar la trayectoria de los electrones, usaríamos el campo eléctrico y
consideraciones como la conservación de la energía. Pero la QED está gobernada
por la cuántica de campos y una de las extraordinarias cosas que nos muestra
esta teoría es que el campo eléctrico está cuantizado, constituido por fotones.
La matemática de la física de partículas elementales es conocida como teoría
cuántica de campos. Esta teoría describe como se propagan los campos cuánticos
que describen las partículas, como colisionan e interaccionan entre sí, como se
producen nuevas partículas, etc. Todos los procesos que se observan en los
grandes aceleradores de partículas (como el LHC y el Tevatrón) se describen por
esta teoría y la QED es su hija más perfecta. De modo que cuando dos electrones
se acercan se pueden repeler, por ejemplo, a través de la emisión de un fotón
por parte de uno de los electrones que será absorbido por el otro. Podemos
dibujar fácilmente el diagrama de Feynman de este proceso:
En todo diagrama de Feynman, las
líneas rectas con flechas representan partículas de materia. En nuestro caso
tenemos dos electrones e-. El tiempo en nuestro diagrama transcurre
de abajo hacia arriba y el eje horizontal puede interpretarse como el espacio
(es usual encontrarnos los diagramas con el tiempo y el espacio intercambiados
respecto al ejemplo que presentamos). Así, en la parte inferior del diagrama,
tenemos las "partículas incidentes", que en nuestro caso son dos
electrones que colisionarán entre sí; y en la parte superior tenemos las
"partículas resultantes" después de la interacción, que, en este
caso, siguen siendo nuestros dos electrones. El diagrama es un esquema
taquigráfico y las líneas no deben entenderse como trayectorias de las
partículas. Los vértices son aquellos puntos del diagrama donde concurren, por
lo menos, tres segmentos. En ellos se producen las interacciones y deben
cumplirse las leyes de conservación, como la conservación de la carga
eléctrica, el momento relativista, la energía, etc. En un vértice de un diagrama de Feynman, las
partículas emergentes pueden ser diferentes a las entrantes (algo que es el pan
nuestro de cada día en los aceleradores), pero en QED solo aparecen vértices de
tres partículas: dos con carga eléctrica y un fotón. En nuestro ejemplo vemos
dos. Las líneas onduladas representan partículas virtuales portadoras de la
fuerza que, en la interacción electromagnética, son fotones y no son
directamente observadas.
En general, no solo en QED, podemos
entender cualquier interacción entre partículas como el paso de un estado
inicial a un estado final. Conociendo qué tipo de interacciones se dan entre
las partículas y las leyes de conservación que satisfacen, la teoría cuántica
de campos nos permite calcular las probabilidades de que, a partir de la
interacción de unas partículas iniciales, acabemos en otras partículas finales,
que en general no serán las mismas. Volvamos a nuestro ejemplo de la repulsión
de dos electrones. Para calcular la probabilidad de que las cosas sucedan como
describe el diagrama de Feynman necesitamos hacer una serie de operaciones con
la siguiente expresión matemática:
(O1ieγμI1)((-igμν)/p2)(O2ieγνI2)
donde
la contribución de un electrón antes de la colisión corresponden al símbolo I
y la de después de la colisión a la letra O. El
subíndice indica si se trata del electrón 1 o 2. La contribución del fotón se
corresponde con el cociente central de la ecuación. La genialidad de los
diagramas de Feynman es que son una manera precisa y sencilla de representar
este tipo de expresiones, como podemos deducir de la siguiente tabla:
Cada elemento del diagrama se traduce
en parte de la expresión matemática. ¿Y ya está, es así de fácil?
Lamentablemente solo hemos descrito una posible forma de pasar del estado
inicial de nuestros electrones al estado final. Pero en realidad, la teoría
cuántica de campos permite que esto suceda de una infinidad de maneras. En
nuestro ejemplo, los siguientes diagramas de Feynman también son compatibles
con una repulsión entre dos electrones:
En el primero, uno de los electrones
resultantes emite un fotón virtual y lo reabsorbe. En el segundo diagrama, uno
de los electrones emite un fotón antes de la colisión y lo reabsorbe
posteriormente. Y por último, en el tercer diagrama, se crean y destruyen partículas
virtuales intermedias. Así, que simplemente añadiendo un nuevo vértice de
interacción, algo que es posible según la cuántica de campos, creamos un nuevo
diagrama y el resultado final es el mismo. Hay infinitas posibilidades que nos
llevan al resultado final de la repulsión de dos electrones. Pero, si hay
tantos diagramas posibles, ¿cuál es el que realmente ocurre? Pues según la
cuántica, simplemente no podemos saberlo, porque en cierto modo, todos los
diagramas ocurren a la vez. La teoría
nos dice que para determinar la probabilidad de que se produzca el estado final
a partir del inicial debemos sumar las contribuciones a la probabilidad de
todas las formas posibles de hacerlo, de todos los posibles diagramas de
Feynman.
Cada uno de los posibles procesos que
nos lleva al mismo resultado final está asociado a una integral de camino, que
utiliza expresiones matemáticas como la mostrada anteriormente. Para computar
la probabilidad exacta de alcanzar este estado final debemos sumar infinitas
contribuciones, infinitos diagramas de Feynman. Afortunadamente, la emisión de
un fotón en este proceso tiene una probabilidad de ocurrir de un 1%, mientras
que la emisión de dos fotones tiene una probabilidad de un 0,01%. Y esta
probabilidad va disminuyendo más y más mientras más fotones virtuales
intervengan; es decir, mientras más vértices tenga nuestro diagrama. De modo
que nuestro primer diagrama, el más simple, es el más importante.
La teoría de perturbaciones nos enseña
cómo es posible resolver ecuaciones muy complicadas, en nuestro caso el cálculo
de la probabilidad de un suceso, simplificándolas para obtener una solución tan
aproximada como queramos. Es algo parecido a lo que hacemos al tomar como
aproximación a una expresión matemática un truncamiento de una serie de Taylor.
Nos quedamos con los primeros términos más relevantes. En nuestro ejemplo, el
intercambio de un único fotón es la contribución dominante y, solo en el caso
de que necesitemos cálculos más precisos, necesitaremos tener en cuenta otros
diagramas. La ventaja de los diagramas de Feynman sobre el resto de
formulaciones teóricas es que es relativamente fácil dibujar todos los posibles
diagramas con dos o tres vértices, por ejemplo. Aun así, los físicos de
partículas tienen que evaluar unos cientos de diagramas de Feynman para obtener
aproximaciones a bajo orden y decenas de miles para ir algo más allá en la
precisión. Algo que sin la inestimable ayuda de los ordenadores simplemente
sería imposible hoy día.
La teoría cuántica de campos en su
aplicación a la física de las partículas elementales es la teoría mejor
confirmada experimentalmente de la historia. Y en QED la concordancia
entre resultados teóricos y medidas experimentales sobrepasa con mucho lo
espectacular. Pero los físicos no paran y trabajos recientes apuntan a que, tal
vez, la época de los diagramas de Feynman toque pronto a su fin. Herramientas
de la teoría de los twistors, desarrollada por Roger Penrose en la
década de los 70 y usada entre los teóricos de cuerdas recientemente, prometen
una nueva simplificación espectacular de los cálculos. Quizás así los diagramas
de Feynman desaparezcan de la práctica diaria de los físicos de partículas,
pero ocuparán siempre un lugar destacado en la historia de la física.
Bibliografía:
David
Kaiser, “La física y los diagramas de Feynman”. Investigación y ciencia,
septiembre de 2005.
Richard
P. Feynman, “Electrodinámica cuántica: la extraña teoría de la luz y la
materia”. Alianza Universidad, 1992.
Jesús
Navarro Faus, “Feynman: Los caminos cuánticos”. Nivola Libros y Ediciones,
2007.
Bartolo
Luque
Doctor en Física
E.T.S.I. Aeronáuticos,
Universidad Politécnica de Madrid
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