¿Qué es
el principio de incertidumbre de Heisenberg?
(Por
Ángel S. Sanz)
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1. Introducción.
Cuanto más precisa sea la
medida de la posición de una “partícula” {1}, más imprecisa será la medida de
su momento lineal (el producto de su velocidad por su masa), y viceversa.
Posiblemente ésta sea la versión más popular (ver Fig. 1) del principio de incertidumbre o indeterminación {2} de Heisenberg [1],
quien descubrió que ésta era una de las consecuencias directas de la
formulación o representación matricial de la mecánica cuántica, desarrollada
por él mismo, Kramers, Born y Jordan en 1925 [2]. Formalmente, se expresa
mediante la desigualdad
∆𝑥
∙ ∆𝑝𝑥 ≥ h
/ 4π (1)
donde ∆𝑥 y ∆𝑝𝑥 cuantifican, respectivamente, las
incertidumbres asociadas a la medida de la posición y el momento de la
partícula, y h =
6.62607 ∙ 10-34
J∙s es una
constante física universal definida por Planck como el quantum de acción (Wirkungsquantum).
Físicamente, la presencia de esta constante tiene como consecuencia la
imposición de una limitación intrínseca a nuestro conocimiento y concepción del
mundo cuántico, algo bastante alejado de la percepción que tenemos de los
objetos cotidianos.
Fig. 1. Sello conmemorativo alemán en el que aparecen Heisenberg y la relación de incertidumbre que lleva su nombre (Heisenbergsche Unschärferelation).
El concepto de quantum fue introducido por Planck
cuando buscaba una explicación para el espectro de la radiación que emite o
absorbe un cuerpo negro [3], un problema que habían intentado resolver sin
éxito eminentes físicos ya en el siglo XIX, como Rayleigh, Jeans o Wien a
partir de la física conocida en ese momento, en particular, la teoría del
electromagnetismo de Maxwell. A diferencia de ellos, Planck planteó la
posibilidad de que la transferencia de energía desde un sistema a otro no se
transmitiese de forma continua (es decir, no se puede transferir cualquier
cantidad de energía), sino discreta, en forma de “paquetes” idénticos de un
determinado tamaño a los que denominó quanta
de energía.
𝐸
= hν = hc / λ (2)
La energía de cada una de estas
unidades quedaba fijada por la frecuencia de la radiación asociada, donde ν y λ denotan
la frecuencia y longitud de onda de la radiación (cuanto más rápida sea la oscilación
de la radiación, menor será su longitud de onda, y viceversa). Esta idea tan
innovadora dio lugar a lo que hoy se conoce como vieja teoría del quantum, empleada exitosamente por
Einstein para suministrar una explicación del efecto fotoeléctrico mediante el
concepto de quantum de luz (Lichtquant) y, una década más tarde, por
Bohr como uno de los elementos centrales de su modelo atómico, para explicar
por qué los átomos emiten o absorben luz solo con determinadas frecuencias o
energías. Posteriormente, la constante de Planck se convertiría también en uno
de los elementos clave de la mecánica cuántica, cuya aparición en 1925 supuso
la superación, substitución, de la teoría del quantum de Planck.
Al igual que el valor de
la velocidad de la luz en el vacío es un factor limitante de cuán veloz puede
ser un objeto, la constante de Planck establece un límite al valor de la acción
asociada a un sistema, lo que a su vez se traduce en la aparición de relaciones
de incertidumbre para cualesquiera dos magnitudes cuyo producto tenga
dimensiones de acción (energía por tiempo). Éste es el caso, por ejemplo, de la
desigualdad (1), donde el producto de las dispersiones en los valores de la
posición y el momento tiene precisamente esas dimensiones. Como consecuencia, mientras
que la medida de la posición y la velocidad del péndulo de un reloj de pared no
plantea ningún inconveniente (la acción asociada es muchísimo mayor que el
valor de h y, por tanto, a efectos prácticos
podemos asumir que ∆𝑥 ∙ ∆𝑝𝑥 ≈ 0), el caso cuántico análogo requerirá
de la realización de dos medidas (experimentos) independientes debido a la
imposibilidad de poder determinar ambas cantidades con uno solo.
Las implicaciones de las
relaciones de incertidumbre constituyen posiblemente el mayor inconveniente
conceptual con el que nos encontramos cuando abordamos la mecánica cuántica y,
por tanto, cuando intentamos comprender el comportamiento de los sistemas
cuánticos, pues es imposible determinar con total precisión el valor de dos
variables complementarias (formalmente, variables canónicamente conjugadas)
cualesquiera que sirvan para especificar inequívocamente el estado de la
partícula. La posición y el momento son un ejemplo; pero el mismo problema se
nos plantea cuando intentamos especificar al mismo tiempo las tres componentes
del momento angular o del espín de un sistema (o su estado de polarización, si
se trata de un fotón), la energía asociada a su estado cuántico y su tiempo de
vida media o, en el caso de sistemas de muchas partículas idénticas (fotones o
electrones), el número de éstas y la fase que caracteriza a su estado, por
ejemplo.
En este capítulo
abordaremos una serie de aspectos asociados a las relaciones de Heisenberg, que
nos permitirán comprender tanto su conexión con la teoría formal, como sus
implicaciones físicas. Así, en la sección 2. se ofrece, sin entrar en detalles
matemáticos, una visión de su procedencia dentro del marco de la propia teoría,
tanto a partir de la formulación matricial de Heisenberg, como de la ondulatoria
de Schrödinger. Para ilustrar el significado de la relación (1), en la sección 3.
se describe un experimento mental (Gedankenexperiment)
ideado por Heisenberg con tal propósito, el denominado microscopio de Heisenberg [4], y se introduce la noción de complementariedad o principio de complementariedad de Bohr. Para concluir, en la
sección 4. se discutirán las implicaciones fundamentales a nivel
interpretativo, principalmente dentro del contexto del concepto de
complementariedad, la teoría de la medida [5], la denominada paradoja EPR y el
entrelazamiento cuántico [6,7], así como experimentos actuales relacionados.
2. Formalismo
mecano-cuántico y relaciones de incertidumbre.
Las relaciones de
incertidumbre son un resultado directo del formalismo matemático de la mecánica
cuántica, razón por la cual se podría considerar “dudoso” elevarlas a la
categoría de principio fundamental, ya que estos, generalmente, son fundamento
y no consecuencia. Ofrecer un análisis detallado de cómo se obtienen dichas
relaciones excede el alcance de este capítulo, por lo que únicamente nos vamos
a limitar a suministrar una serie de “pinceladas” que permitan visualizar cómo
se deducen de la propia teoría y cuál es su significado físico. Para ello
resulta instructivo emplear las dos formulaciones más estándar de la mecánica
cuántica, la mecánica matricial de Heisenberg y la mecánica ondulatoria de
Schrödinger, comenzando por la primera, más operacional y abstracta, y
continuando por la segunda, más cercana a nuestra intuición.
El acercamiento de
Heisenberg a la mecánica cuántica está basado en la utilización del álgebra
matricial como pieza clave. Las matrices son objetos matemáticos que nos
permiten organizar sistemáticamente, en forma de tabla, información referente a
una cierta propiedad de un sistema físico. Esta información puede ser, por
ejemplo, las diferentes energías (frecuencias) que originan y explican el
espectro visible del átomo de hidrógeno. Esta idea tan aparentemente sencilla
es, precisamente, lo que llevó a Heisenberg [2] al descubrimiento de la
mecánica cuántica sin conocimiento previo de que en matemáticas ya existían
tales objetos (en este sentido, hay que reconocer a Heisenberg el mérito de
redescubrir todas las propiedades del álgebra de matrices, algo que, sin embargo,
era conocido por los matemáticos de su época).
Para comprender la
conexión entre la nueva mecánica descubierta por Heisenberg y de dónde surgen
las relaciones de incertidumbre es preciso entender la forma de operar con
matrices. Esto podemos verlo sin necesidad de conocimientos previos sobre
álgebra matricial. En la física newtoniana, la evolución de un sistema se
describe mediante trayectorias, es decir, asignando en cada instante un valor a
la posición y el momento de la partícula. Las variables posición, 𝑥(𝑡), y momento, 𝑝(𝑡)
= 𝑚 ∙ 𝑣(𝑡),
son ambas funciones dependientes del tiempo, 𝑡, que juega el papel de parámetro de
evolución (o variable independiente). A un tiempo dado, podemos calcular el
producto de ambas variables, para lo cual da exactamente igual multiplicar la
posición por la velocidad, que al revés, es decir, 𝑥(𝑡)
∙ 𝑝(𝑡) = 𝑝(𝑡) ∙ 𝑥(𝑡). Este producto es conmutativo, propiedad característica de
la mecánica clásica.
A diferencia de las
funciones, cuando tratamos con matrices, el producto ya no es conmutativo en
general, es decir, Ḃ ∙ Ḋ ≠ Ḋ ∙ Ḃ, a menos que ambas matrices describan propiedades del
mismo tipo (por ejemplo, el momento de una partícula y su energía cinética).
Esta anticonmutatividad se comprende fácilmente si cogemos, por ejemplo, un
libro y lo rotamos 90º dos veces seguidas, tomando cada vez un eje de rotación
diferente. Como se observa en la Fig. 2, dependiendo de qué eje de rotación se
considere primero, se obtendrá un resultado u otro. En mecánica cuántica, las
matrices se denominan operadores, porque actúan (operan) sobre el sistema y, al
hacerlo, nos suministran información sobre la variable física a la que
representan. Si no hay operador asociado, la magnitud no es un observable y,
por tanto, no es un resultado experimentalmente accesible (no, al menos, de
forma directa). Cuánticamente, posición y momento tienen asociados operadores
y, por tanto, podemos medirlos, pero como representan propiedades diferentes,
no conmutan:
Ẋ ∙ Ṗ − Ṗ ∙ Ẋ
= 𝑖ℏ (3)
donde ℏ ≡ h / 2π es la constante reducida de Planck.
Según esta relación, cuánticamente no existen estados en los que el sistema
tenga una posición y un momento bien definidos al mismo tiempo, lo que implica
que las incertidumbres de ambas variables serán no nulas, como establece la
relación de incertidumbre desigualdad (1), que se obtiene, así, como
consecuencia directa de la relación de no conmutación (3).
Fig. 2. No conmutatividad de la rotación: la operación de rotar dos veces consecutivas un objeto a través de sus ejes de simetría no es conmutativa, pues el resultado final depende de qué eje de rotación se considera primero y cuál después. En este ejemplo, lo que hacemos es rotar dos veces un libro un ángulo de 90º tomando cada vez uno de sus ejes de simetría.
Pese a describir también
una física nueva, la formulación ondulatoria de Schrödinger no supone una
ruptura total con la física clásica, o no, al menos, tan dramática, como la de
Heisenberg. Ello se debe a que, de algún modo, parte de la física clásica, aunque
no lo hace desde la formulación newtoniana, sino de la hamiltoniana. Ésta
última constituye una generalización de la mecánica newtoniana a partir de la
analogía entre acción mecánica y fase óptica, conocida como analogía hamiltoniana. Así, la mecánica ondulatoria
describe la nueva física apoyándose en un lenguaje matemático (teoría
ondulatoria) conocido para los físicos de la época, evitando el rechazo inicial
que sí causó la mecánica matricial de Heisenberg. El punto de partida de
Schrödinger es la hipótesis propuesta en 1925 por de Broglie, según la cual las
partículas de materia pueden manifestar comportamientos de tipo ondulatorio
(ver Capítulo 49), de igual manera que la luz puede hacerlo como una partícula
(fotón), como propuso veinte años antes Einstein para explicar el efecto
fotoeléctrico. Dentro de este contexto, la contribución fundamental realizada
por Schrödinger fue encontrar la ecuación de movimiento que satisfacían las
ondas o campos de materia, tomando como base la analogía hamiltoniana: hacia el
primer tercio del siglo XIX, William Rowan Hamilton observó que en el límite de
la óptica geométrica (longitudes de onda pequeñas), la descripción de las ondas
admitía una descripción más simple en términos de rayos que satisfacían el
principio del tiempo mínimo de Fermat. Lo que hoy se conoce como principio de
mínima acción de Hamilton no es otra cosa que la versión mecánica del principio
de Fermat; las trayectorias newtonianas, en virtud de la formulación
hamiltoniana, son el equivalente mecánico de los rayos ópticos. Schrödinger
generaliza esta idea al asumir que, cuando nos desviamos del límite de la
óptica geométrica, las fases de las ondas asociadas a la luz son el análogo
óptico directo de las fases de las ondas de materia de de Broglie. A partir de
esta relación tan aparentemente directa y evidente se obtiene la ecuación de
movimiento para dichas ondas, que hoy conocemos como ecuación de Schrödinger.
De acuerdo con la mecánica
ondulatoria, el estado en el que se encuentra la partícula viene descrito por
un campo denominado función de onda. Estos objetos matemáticos son funciones
que dependen de varias variables y parámetros. Ejemplos de función campo
conocidos son la temperatura o la presión de los mapas meteorológicos: dadas
unas coordenadas (expresadas en estos casos en términos de latitud y longitud
por conveniencia) obtenemos el valor de temperatura o presión sobre el punto
deseado; estos mapas (los valores de temperatura y presión) cambian con el
tiempo, que es el parámetro de evolución. En el caso mecano-cuántico, la
función de onda representa una amplitud de probabilidad, una función compleja,
cuyo módulo elevado al cuadrado nos da el valor de la probabilidad con que
podemos encontrar a una partícula en una determinada posición a un tiempo dado
(o, en general, con cualquier otra propiedad física que defina el estado del
sistema bajo estudio). Describir el estado de una partícula mediante una onda,
con independencia de cuestiones metafísicas relacionadas con su interpretación,
resulta muy interesante para el físico, ya que su análisis será exactamente
equivalente al de cualquier onda, campo o señal (la terminología depende del
área de la Física a que hagamos referencia, aunque el objeto en sí es siempre
el mismo): en términos de análisis de Fourier. Una propiedad interesante de
este tipo de análisis es que cualquier onda que dependa de una cierta variable,
como, por ejemplo, la posición, tiene una representación dual en un espacio
recíproco en términos de una variable conjugada asociada, como es el momento.
Este momento, sin embargo, no tiene nada que ver con el momento canónico
clásico, que es una variable independiente, sino que está intrínsecamente
ligado al espacio recíproco de la variable de partida. Tal vez en el caso de
posiciones y momentos esto no sea evidente, pero sí que lo es si pensamos que
la transformada de Fourier de una función dependiente del tiempo es una función
que depende de la frecuencia (o energía). Así, el momento al que se refiere la
transformada de Fourier es en realidad una cantidad proporcional a una
frecuencia espacial, es decir, 𝑝 = ℏ𝑘. De hecho, a partir de esa relación y
de la que existe entre esta frecuencia y la longitud de onda, 𝑘
=2π / λ , se
recobra inmediatamente la hipótesis de de Broglie
𝑝
= ℎ / λ (4)
pero no solo eso, sino que además los
valores de las incertidumbres asociadas a esas posiciones y sus respectivos
momentos (duales) satisfacen la relación (1), que puede ser obtenida de una
forma relativamente sencilla a partir de teoremas del análisis de Fourier.
Un
experimento relativamente simple donde se observan las implicaciones de la
relación de incertidumbre de forma inmediata es el de la difracción de un haz
láser (luz procedente de un puntero láser rojo, por ejemplo) por una rendija
practicada sobre un trozo de cartulina oscura. La difracción es un fenómeno
distintivo de cualquier onda que consiste en que, cuando ésta atraviesa un
obstáculo, muestra un patrón característico que nada tiene que ver con las
zonas de sombra (de luz, sonido, telefonía, etc.) a que estamos acostumbrados
en la vida cotidiana. En el caso del haz láser atravesando la rendija,
dependiendo de la anchura de la rendija, se obtendrán patrones como los que
aparecen en la Fig. 3, con “manchas” de mayor amplitud a medida que la anchura
de la rendija disminuye. Supongamos ahora que el patrón está formado por una
gran cantidad de partículas cuánticas, ya sean fotones en el caso del láser o
de electrones, átomos o moléculas, en otros casos. Consideremos una rendija de
anchura
. La
incertidumbre asociada a la onda que cruza la rendija es del orden de la
anchura de ésta, ∆𝑥 ∼ 𝑤; es imposible saber por dónde pasará
exactamente una partícula, solo sabemos que su posición estará en algún lugar
dentro de ese rango. La porción de onda asociada (recordemos que adscribimos a
la partícula una onda y no un punto localizado espacialmente) que atraviesa la
rendija es una onda de perfil cuadrado, de valor distinto de 0 a lo largo de la
rendija, por efecto de los bordes de ésta sobre la onda incidente. Físicamente,
esto quiere decir que existe exactamente la misma probabilidad de que la
partícula pase por cualquier punto de la abertura y que no hay posibilidad
alguna de que lo haga por cualquier otro punto fuera de esa región. La transformada
de Fourier es una función (onda) oscilante, cuyo argumento es 𝑤𝑝
/ ℏ. El cuadrado de esta
función es precisamente lo que se observa en la Fig. 3. La anchura del pico
central de esta función (la distancia entre los mínimos que delimitan el máximo
central de luz), que tomamos como incertidumbre del momento, es ∆𝑝
∼ ℎ / 𝑤. Por
tanto, el producto de ambas incertidumbres reproduce la relación de Heisenberg
directamente. Esto que hemos obtenido para la difracción de un haz láser se
cumple escrupulosamente para cualquier tipo de onda y, en particular, para las
ondas de la mecánica cuántica, describan éstas un electrón (partícula elemental
sin estructura) o una gran biomolécula (partícula con una gran complejidad
interna).
Fig. 3. Difracción de la luz producida por un haz láser rojo por rendijas de diversas anchura (decreciente de arriba abajo). A medida que decrece la anchura de la rendija, la difracción es mucho más importante (máximos más anchos).
3. Complementariedad
y el microscopio de Heisenberg.
La relación de
incertidumbre de Heisenberg se haya íntimamente ligada a otro concepto o
principio también central de la física cuántica: el principio de complementariedad de Bohr [8]. Según Bohr, la relación
de incertidumbre no es sino una manifestación de la complementariedad cuántica,
una idea o principio fundamental según la cual dos cualesquiera propiedades
complementarias asociables a un sistema cuántico no pueden ser observadas al
mismo tiempo en un experimento. Por ejemplo, un sistema cuántico no puede
exhibir simultáneamente su carácter de partícula (o corpúsculo) y de onda (ver
Capítulo 49 sobre el concepto dualidad onda-corpúsculo); en unos casos mostrará
el primero y en otros el segundo, dependiendo ello de cómo esté diseñado el
experimento que se vaya a realizar (ver discusión más detallada sobre los
experimentos de la doble rendija de Young o de la elección retardada de Wheeler
en el Capítulo 49). Igualmente, dado que la posición y el momento de un sistema
cuántico son variables complementarias, no pueden ser determinadas en un mismo
experimento con total precisión y, de ahí, que se observe una relación entre
sus incertidumbres. Un ejemplo sencillo que ilustra cómo la complementariedad
da pie al concepto de incertidumbre en la forma prescrita por Heisenberg, es
decir, como una propiedad intrínseca del sistema bajo estudio, es el
experimento mental que hoy conocemos como microscopio
de Heisenberg [9], ideado por éste para explicar la física que entraña la
desigualdad (1). La idea es muy simple. Supongamos que queremos observar la
posición precisa de un electrón mediante un microscopio, como se ilustra en la
Fig. 4. En principio, el electrón se encuentra a una distancia d del objetivo, sobre el eje óptico de esta lente, de diámetro 𝐷.
Fig. 4. Esquema general ilustrando la física del microscopio de Heisenberg. Solamente los fotones dispersados hacia el interior del cono determinado por el tamaño de la lente y su distancia focal nos pueden aportar información sobre la posición del electrón “observado”.
En esta configuración, electrón y objetivo
forman un cono de abertura angular 𝛳.
Supongamos que los fotones con los que se ilumina al electrón para poder
observarlo proceden de una fuente situada debajo del mismo, de manera que
inicialmente no poseen componente transversal (su momento es perpendicular al
plano del objetivo). El momento lineal de estos fotones es 𝑝ᵧᴼ , que corresponde a una longitud de
onda asociada 𝜆ᵧᶠ
en virtud de la relación 𝑝=ℎ/𝜆. Asumiendo que los fotones son altamente energéticos
(rayos X o rayos gamma, por ejemplo), estos mostrarán su naturaleza corpuscular
(ver Capítulo 49), como en el efecto fotoeléctrico. En tal caso, por efecto
Compton, tras impactar sobre el electrón, los fotones serán dispersados en
diversas direcciones, adquiriendo una cierta componente transversal (paralela
al plano del objetivo) en su momento lineal. Igualmente, el electrón, que
estaba inicialmente en reposo, gana cierta cantidad de momento, experimentando
un desplazamiento a lo largo de la dirección del eje óptico (y también
transversalmente). Dado que los fotones no disponían inicialmente de momento
transversal, por conservación del momento lineal total del sistema electrón-fotón,
el momento que ganan los fotones hacia un lado lo tienen que ganar también los
electrones hacia el otro, de manera que el momento neto total quede cancelado.
Así, el momento transversal de los electrones es
𝑝ₑ,ₓ
= 𝑝ₑsin𝜑 = 𝑝ᵧᶠsin𝜗 = (ℎ/ 𝜆ᵧᶠ)sin𝜗 (5)
donde 𝜑 y 𝜗 son los ángulos de las trayectorias
que siguen, respectivamente, el electrón y el fotón tras la colisión, es el
ángulo de la trayectoria del fotón con respecto al eje óptico del sistema tras
la colisión, 𝑝ₑ y 𝑝ᵧᶠ son el momento final que adquieren,
respectivamente, el electrón y el fotón, 𝜆ᵧᶠ
es la longitud de onda del fotón tras la colisión, que viene dada por la
expresión
(1/ 𝜆ᵧᶠ)‒(1/
𝜆ᵧ⁰)=(ℎ/𝑚₀𝘤)⋅(1‒cos𝜗) (6)
Siendo 𝑚 la masa en reposo del electrón y 𝘤 la velocidad de la luz en el vacío.
El máximo ángulo de dispersión de los fotones que nos permite tener información
sobre la presencia del electrón viene dado por la máxima abertura angular del
cono imaginario antes mencionado. Cualquier fotón que salga dispersado con un
ángulo mayor no llegará a nuestro ojo y, por tanto, no nos aportará información
sobre el electrón. Ese ángulo implicará que el electrón, a su vez, ha ganado
cierta cantidad de movimiento y, por tanto, su estado ya no es de reposo, como
sucedía antes de la colisión. Dado que el proceso de colisión es aleatorio, el
electrón habrá ganado un momento cuyo valor estará acotado por el máximo
momento hacia adelante y el máximo hacia atrás, es decir, estará comprendido en
el rango
∆ 𝑝ₑ,ₓ=
(𝑝ᵧᶠsin𝛳)‒( 𝑝ᵧᶠsin(‒𝛳))=(2ℎ sin𝛳)/ 𝜆ᵧᶠ≈2ℎ𝛳/
𝜆ᵧᶠ (7)
en la última expresión se ha
considerado, por simplicidad, la aproximación paraxial o de ángulo pequeño, que
permite aproximar el valor del seno (o la tangente) por su argumento (sin𝛳≈𝛳) , ya que asumimos que la distancia de
observación es bastante mayor que el diámetro del objetivo (𝑑≫𝐷) . El resultado expresado por la
relación (7) nos indica que, en principio, cuanto mayor sea la longitud de onda
de los fotones dispersados, más acotado estará el momento del electrón y, por
tanto, menor será su incertidumbre. De este modo, si utilizásemos radiación de
muy alta frecuencia (longitudes de onda grandes), conseguiríamos reducir en
gran medida la imprecisión en el momento y tendríamos al electrón más localizado
espacialmente, pues los posibles valores del momento con los que podría salir
despedido éste a lo largo de la dirección transversal (en la que pretendemos
tenerlo localizado) serían cada vez menores y más cercanos a cero.
Sin embargo,
¿significa eso realmente que podemos llegar a tener tan localizado al electrón
como para determinar su posición precisa? Para contestar a esta pregunta,
consideremos ahora el hecho de que, además de impactar sobre el electrón como
si fuesen corpúsculos, los fotones también tienen asociada una naturaleza
ondulatoria. En este caso, sabemos por la Óptica que, aparte de suministrarnos
una imagen del objeto, una lente también se comporta como si fuese una
abertura, es decir, difracta la luz que pasa a través de ella. Esto es lo que
da lugar al denominado límite por difracción en la resolución de la lente (o,
en general, del sistema óptico, como sería el caso de un microscopio), como se
muestra gráficamente en la Fig. 5 (o se vio en el caso de la rendija de la Fig.
3).
Fig. 5. (a) Sección transversal que muestra la difracción por una abertura circular de la luz emitida por dos fuentes puntuales o centros dispersores situados en posiciones alternativas P1 y P2, formando un ángulo 𝛳. Cuanto menor es el valor de 𝛳, más difícil se hace distinguir la procedencia del patrón de difracción. (b) De izquierda a derecha, patrones de difracción obtenidos con tres ángulos 𝛳 diferentes. El límite de la resolución vendría dado por la abertura angular que genera el patrón central, ya que aún podemos percibir la presencia de dos máximos (en el patrón de la derecha la superposición de los patrones nos impide saber si se trata de uno o de dos máximos).
Para comprender mejor las
implicaciones del límite por difracción y su conexión con la relación de
incertidumbre, consideremos que la lente se comporta, efectivamente, como una
abertura circular, dando lugar a una cierta distancia el característico patrón
de difracción, formado por círculo de luz, denominado disco de Airy, rodeado
por una serie de anillos concéntricos de menor intensidad. La fuente de luz, en
nuestro caso, es un centro de dispersión puntual, el electrón: cuando el fotón
llega, la onda asociada empieza a formar frentes de onda del mismo modo que
sucede cuando arrojamos una piedra a un estanque de agua. Supongamos que P1
y P2 son dos posiciones opuestas con respecto al eje óptico en las
que el electrón podría estar localizado (asumimos, por hipótesis, que no
estuviese inicialmente localizado). Como se muestra en la Fig. 5(a), se
producirán dos patrones de difracción simétricos con respecto al eje óptico,
uno asociado a cada posición. Si solo tuviésemos un centro dispersor situado sobre
el eje óptico, el primer mínimo de patrón de difracción correspondiente, es
decir, la primera zona de obscuridad que separa el disco de Airy del primer
anillo concéntrico, ocurre cuando se cumple la condición
(𝜋𝐷/
𝜆ᵧᶠ) sin𝛳𝑑 ≈ 1.22⫪ (8)
donde 𝛳𝑑 es el ángulo subtendido desde el eje
óptico a la posición de esa primera zona de obscuridad. En condiciones de
paraxialidad, este ángulo es
𝛳𝑑
≈ 1.22 (𝜆ᵧᶠ / 𝐷) (9)
que además nos indica el tamaño
(angular) del radio del disco de Airy. Según el criterio de Rayleigh,
comúnmente utilizado para determinar el poder resolutivo de un sistema óptico
afectado por difracción, para poder discernir si se trata de dos objetos
diferentes o de uno solo, el ángulo ʘ
definido por las posiciones P1 y P2 con respecto al
centro de la abertura debe de ser tal que los centros de los correspondientes
patrones estarán, como mínimo a una distancia igual al radio del disco de Airy,
es decir, ʘ ≈ 𝛳𝑑
(ver Fig. 5(b)).
Conforme
a lo anterior, para poder resolver las imágenes que generan los fotones que
alcanzan al electrón, la posición de éste debe estar comprendida, como poco
dentro del rango
∆𝘹
≈ ʘ𝑑 ≈ 1.22 (𝜆ᵧᶠ𝑑/𝐷) (10)
ahora, según se ha comentado antes,
solo los fotones cuyo ángulo de salida sea igual o inferior a 𝛳=𝐷/2𝑑 podrán pasar a través de la lente.
Por tanto,
∆𝘹
≈1.22 (𝜆ᵧᶠ/2𝛳) (11)
de manera que lo que se obtiene ahora
es que, cuanto menor sea la longitud de onda (radiación más energética), menos
imprecisión tendremos y, por tanto, más localizado espacialmente estará el
electrón. Es decir, llegamos justo a la conclusión contraria que en el caso
anterior. Nos encontramos con que no se puede variar la longitud de onda de la
luz con que iluminamos al electrón sin redundar en perjuicio de una de las dos
medidas. Ambas se hayan íntimamente relacionadas: si queremos localizar al
electrón restringiendo su movimiento, incrementaremos la imprecisión asociada a
la distorsión que causa la difracción; si queremos reducir el efecto de la difracción,
es el movimiento del electrón lo que imposibilita su localización. Por ello,
para encontrar un cierto consenso, lo que hacemos es calcular su producto, que
resulta ser
∆𝘹 ∙
∆𝘱𝘹
∼ ℎ (12)
que, aunque es independiente de la
longitud de onda, nos deja ligadas ambas cantidades a través de la constante ℎ. Este resultado nos indica que no
podemos hacer ambas imprecisiones tan pequeñas como queramos y, por tanto,
medir “la posición del electrón”. Como señala Heisenberg tras introducir este
experimento mental [4], siempre es posible alegar objeciones al mismo con el
propósito de eludir dificultades en el proceso de medida y, por tanto, evitar
la relación de incertidumbre. Sin embargo, se demuestra que éste es ineludible,
ya que todas y cada una de esas objeciones añaden, a su vez, nuevas cuestiones
que acaban redundando de una forma u otra en la relación de incertidumbre. Por
ejemplo, se puede querer evitar el inconveniente de la incertidumbre en el
camino del fotón desviado tras la colisión utilizando un microscopio móvil, lo
cual conlleva al problema de la posición del propio microscopio y, de ahí,
volveríamos de nuevo a la ecuación (12).
4. Interpretación
de la mecánica cuántica y paradoja EPR.
Cuando situamos la
relación de incertidumbre de Heisenberg dentro del contexto de la comprensión
que la Física nos brinda del mundo que nos rodea, es decir, de cómo nos permite
comprender y explicar los fenómenos que encontramos en la Naturaleza,
ciertamente plantea un importante reto conceptual. A diferencia de los modelos
propuestos con anterioridad a la mecánica cuántica, en los que existe una
distinción o separación clara entre lo observado y el observador, ahora nos
encontramos con que tal separación no existe en absoluto. Como hemos visto, si intentamos
medir el sistema, lo estaremos influenciando de tal manera que no podremos
conocer su estado antes de realizar el proceso de medida, pues éste entraña ya
una perturbación del mismo. Aunque esto lo hemos discutido en el caso
particular de la posición y el momento, la situación se hace extensiva a
cualquier par de variables conjugadas que sirvan para especificar el estado del
sistema (en el Capítulo 49 volveremos a esta cuestión precisamente dentro de la
dicotomía onda-corpúsculo). Esta conclusión tan perturbadora para los físicos
de principios del siglo XX es lo que llevo a lo que se conoce como
interpretación ortodoxa o de Copenhague de la mecánica cuántica tras la 5ª
Conferencia Solvay [10,11], en 1927, cuyo referente principal es Bohr y que, a
día de hoy, sigue siendo la que aún se mantiene y utiliza para enseñar mecánica
cuántica en las aulas. En su visión más radical, lo que establece es que hasta
que no hay medida no hay sistema, es decir, que aunque sepamos que hay un
objeto ahí, tan desconocido es para nosotros su estado, que a efectos prácticos
es como si dicho sistema no existiese.
Obviamente,
esa ruptura radical con la visión más materialista de la Física anterior, una
ruptura que tiene cierta conexión con el neopositivismo del Círculo de Viena
(la Segunda Conferencia Internacional por la Unidad de la Ciencia tuvo lugar
precisamente en Copenhague, sobre el “Problema de la Causalidad”, en 1936,
auspiciada por Bohr [12]) y el resurgimiento del idealismo alemán,
principalmente durante los años 20 del siglo XX, no dejó indiferente a otro
grupo de físicos de la época. Los físicos seguidores de esta otra corriente,
denominada realista y liderada por Einstein, se mostraban escépticos y
perplejos ante la posibilidad de que, en última instancia, la Física no nos
permitiese acceder al mundo físico sin perturbarlo y, por tanto, consideraban
que la teoría cuántica no podía ser una teoría completa, ya que no permite
especificar completamente todas las propiedades que describen un objeto, lo que
Einstein denominaba la “existencia real” del objeto. Esta perplejidad y, al
mismo tiempo, preocupación queda bastante bien reflejada cuando en el
transcurso del regreso a casa Einstein pregunta a Pais si realmente creía que
la Luna solo existía cuando la miraba [13]. Igualmente, Schrödinger ponía de
relieve esta ambigüedad a través de su famosa paradoja del gato en la caja,
según la cual el estado del gato se haya indefinido, entre vivo y muerto, hasta
que se abra la caja y se realice la observación (medida) por su acoplamiento al
detonante del proceso que puede acabar su vida, un vial con un material
radiactivo, cuya probabilidad de desintegrarse y activar el mecanismo viene
descrita por la mecánica cuántica.
Como
respuesta, Einstein, Podolsky y Rosen publicaron un trabajo en 1935 [14] en el
que proponían como solución al dilema planteado por el principio de
incertidumbre considerar dos sistemas cuánticos altamente correlacionados
(entrelazados, como denominó Schrödinger al fenómeno [15], también en 1935), de
manera que sobre una de las partículas se pudiese determinar su posición y, a
partir de la otra, su momento, y viceversa, violando así la relación de
incertidumbre. Acto seguido, Bohr demostró [16] que el razonamiento era erróneo
y que, por tanto, la relación de incertidumbre no se violaba. Sin embargo, hoy
día el experimento mental propuesto por Einstein, Podolsky y Rosen, denominado
paradoja EPR, se ha convertido en una de las ideas más influyentes de la
Física, siendo el germen de lo que ya se conoce como Segunda Revolución
Cuántica y las incipientes tecnologías cuánticas [17, 18, 19]. El motivo es que
introduce el concepto de no localidad, es decir, la interacción a larga
distancia entre dos sistemas cuánticos como concepto clave (recuérdese que en
la física anterior, la intensidad de la interacción entre dos sistemas
disminuye con la distancia).
Hoy día las relaciones de
incertidumbre siguen siendo inspiración para multitud de trabajos y
experimentos por sus implicaciones sobre nuestra percepción del mundo cuántico.
Se intentan diseñar experimentos que contravengan estas relaciones o, al menos,
nos muestren vías que, como el experimento EPR, nos indiquen qué es lo que
habría que hacer. Sin embargo, los resultados han sido negativos. Lo más
cercano, tal vez, haya sido el experimento que Steinberg llevó a cabo hace unos
años en la Universidad de Toronto [20], en el que se midieron al mismo tiempo
(dentro de un mismo experimento) posiciones y momentos sin violar la relación
de incertidumbre de Heisenberg. Esto permitió observar (o inferir) los dos
aspectos complementarios de un sistema cuántico: onda y corpúsculo. Ésta es una
historia que continúa en el Capítulo 49, pero que nos introduce una pregunta
interesante: ¿son realmente las relaciones de incertidumbre de Heisenberg un
resultado intrínsecamente fundamental de la mecánica cuántica?
Notas:
{1} A lo largo del capítulo se va a utilizar el
término “partícula” por simplicidad y también porque está bastante extendido en
la literatura divulgativa referente al principio de Heisenberg. Sin embargo,
conviene especificar que el término correcto es “sistema”, que es más abstracto
y hace referencia al grado de libertad (variable) o conjunto de ellos que
sirven para caracterizar el objeto físico o fenómeno bajo estudio. Cuando nos
referimos al movimiento de una partícula de masa
sin estructura interna, uno y otro término se
identifican y, para simplificar, hablamos de partícula. Sin embargo, estamos
describiendo la vibración o rotación del objeto, es decir, de una partícula con
una estructura interna, el sistema viene descrito por unas variables que no permiten
identificar a éste con dicha partícula, aunque tanto vibración como rotación
tendrán asociadas unas relaciones de incertidumbre.
{2} En castellano se utilizan indistintamente los
términos “incertidumbre” e “indeterminación” para hacer referencia al principio
de Heisenberg, al igual que en alemán, donde se emplean las palabras “Unschärfe” y “Umbestimmtheit”. Para simplificar, aquí emplearemos el término
“incertidumbre”, de uso bastante extendido debido a la influencia del inglés,
donde se utiliza la palabra “uncertainty”.
Sin embargo, en vez de la palabra “principio” se utilizará “relación”, igual
que en alemán (“Unschärferelation” o
“Unbestimmetheitsrelation”), ya que
el concepto “principio” transciende el significado que se le da al resultado
obtenido por Heisenbeg, que, como se indica en este capítulo, es una
consecuencia directa de la estructura matemática de la mecánica cuántica y, por
tanto, no puede considerarse como un principio físico fundamental, como lo son
la complementariedad, la naturaleza estadística o probabilista intrínseca de la
mecánica cuántica o el principio de exclusión de Pauli, que no son
consecuencia, sino fundamento de la propia teoría, que se construye y
desarrolla en torno a ellos.
Bibliografía:
[1] “Über den
anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik”, W.
Heisenberg, Z. Phys. 43, 172-198 (1927).
[2] “Sources of
Quantum Mechanics”, B. L. van der Waerden (Dover, New York, 1967).
[3] “The Theory of
Heat Radiation”, M. Planck (Dover, New York, 1959).
[4] “The dreams that
stuff is made of”, S. Hawking (Running Press, Philadephia, 2011).
[5] “Quantum Theory
and Measurement”, J. A. Wheeler and W. H. Zurek (Princeton University Press,
Princeton, NJ, 1983).
[6] “The Age of
Entanglement”, L. Gilder (Alfred A. Knopf, New York, 2008).
[7] “La realidad cuántica”, A. Cassinello y J. L.
Sánchez Gómez (Crítica, Barcelona, 2012).
[8] “The quantum
postulate and the recent development of atomic theory”, N. Bohr, Nature 121, 580-590 (1928).
[9] “The Physical
Principles of the Quantum Theory”, W. Heisenberg (University of Chicago Press,
Chicago, 1930), chaps. 2 y 3 (re-impreso en la Ref. 4); “Quantum Theory”, D.
Bohm (Dover, New York, 1951), chap. 5.
[10] “The Solvay
Councils and the Birth of Modern Physics”, P. Marage and G. Wallenborn
(Springer, Basilea, 1999).
[11] “Quantum
Mechanics – Historical Contingency and the Copenhagen Hegemony”, J. T. Cushing
(University of Chicago Press, Chicago, 1994).
[12] “The Vienna
Circle – Studies in the Origins, Development, and Influence of Logical
Empiricism”, F. Stadler (Springer, Heidelberg, 2015).
[13] “Subtle is the
Lord – The Science and the Life of Albert Einstein”, A. Pais (Oxford University
Press, Oxford, 2005).
[14] “Can
quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?”, A.
Einstein, B. Podoslky and N. Rosen, Phys.
Rev. 47, 777-780 (1935).
[15] “Can
quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?”, N.
Bohr, Phys. Rev. 48, 696-702 (1935).
[16] “Discussion of
probability relations between separated systems”, E. Schrödinger, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 31, 555-563 (1935); “Probability
relations between separated systems”, E. Schrödinger, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 32, 446-452 (1936).
[17] “The New Quantum
Age – From Bell’s Theorem to Quantum Computation and Teleportation”, A.
Whitaker (Oxford University Press, Oxford, 2012).
[18] “Tecnologías cuánticas”, J. J. García Ripoll, Acta Científica y Tecnológica 25, 2-7 (2015).
[19] “Hacia un mundo cuántico”, A. S. Sanz, Acta Científica y Tecnológica 26, 18-24 (2016).
[20] “Observing the
average trajectories of single photons in a two-slit interferometer”, S.
Kocsis, B. Braverman, S. Ravets, M. J. Stevens, R. P. Mirin, L. K. Shalm and A.
M. Steinberg, Science 332, 1170-1173 (2011).
Ángel S. Sanz
Doctor en CC Físicas
Profesor Departamento
de Óptica, Facultad de CC Físicas,
Universidad Complutense de
Madrid.
